Hoeveel weerstand bij fietsen?
Bij het fietsen zijn de twee belangrijkste weerstanden de rolweerstand en de luchtweerstand. Die merk je het duidelijkst als je banden zacht zijn, of wanneer er een stevige tegenwind staat. Maar hoe groot zijn die weerstanden eigenlijk en waar hangen die van af?
Waarom neemt luchtweerstand zo snel toe bij hogere snelheden. En waarom heeft een bredere band bij gelijke druk een lagere rolweerstand dan een smalle band? En waarom neemt de druk in je band nauwelijks toe als je op jen fiets gaat zitten?
Rolweerstand
De rolweerstand van een band is de ‘tegenwerking’ die ontstaat als de band over de weg rolt, en wordt hoofdzakelijk veroorzaakt doordat de band bij het contact met de weg door het gewicht van de fietser een beetje wordt ingedrukt en vervormt. Op een ruwe weg komen daar nog bij de micro vervormingen door kleine steentjes en zo. Bij die vervorming wordt bewegingsenergie omgezet in warmte, en dus verlies je snelheid.
De rolweerstand van een band hangt af van onder andere het gewicht waarmee de band wordt ingedrukt, de bandbreedte, de wieldiameter, het materiaal van de buiten en binnenband, de bandendruk en van de rolsnelheid.
Voor de meeste situaties kun je stellen dat de rolweerstand proprtioneel is met het gewicht, dwz dat rolweerstand een constante maal dat gewicht is. Die constante wordt de rolwrijvingscoefficient genoemd. Dus:
rolweerstand =
rolwrijvingscoefficient x gewicht
De eenheid waarmee rolweerstand (een kracht) wordt gemeten is de Newton (afgekort tot N).
Gewicht
Het totale gewicht is de kracht die fiets plus fietser als gevolg van de zwaartekracht van onze aarde uitoefenen op de grond waarop we staan. Isaac Newton beschreef in 1687 drie belangrijke natuurwetten, waarvan de tweede wet in ons geval zegt dat die kracht (gewicht) evenredig is met de massa van fiets en fietser, maal de mate waarin de aarde ons probeert richting haar centrum te laten ‘vallen’ (valversnelling). Dat wordt ook wel geformuleerd als:
gewicht = massa x valversnelling.
Die valversnelling is op aarde zo’n 9.8 meter per seconde per seconde, dat wil zeggen dat je bij een vrije val er elke second een snelheid van 9.8 meter per seconde bij krijgt. Na 1 seconde val je met 35 km/u, na 2 seconden val je met 70 km/u, etc.
Het totale gewicht van fiets plus fietser rust op de twee contactoppervlakjes van je banden die op de weg ‘drukken’. De totale zwaartekracht wordt dus verdeeld over de contactoppervlakjes en vormen de druk op de weg, en dus in je band. Omgekeerd is het contactoppervlak van je banden met de weg dus altijd gelijk aan het totale gewicht van fiets plus fietser, gedeeld door de druk in je band.
Rolwrijvingscoefficient
De rolwrijvingscoefficient en hangt af van het type band, de ruwheid van de weg, van de druk in je band, en een heel klein beetje van de rolsnelheid.
Uit veel modellen en metingen [Wilson, 2004, p 227] blijkt dat het effect van de snelheid voor fietssnelheden verwaarloosbaar klein is als de band voldoende is opgepompt.
Veel belangrijker voor de rolwrijvingscoefficient zijn de bandbreedte en de bandendruk, die met elkaar de grootte en vorm van het contactoppervlak van de band met de weg bepalen.
De bandendruk is bepalend voor de grootte van het contactoppervlak: hoe lager de druk in de band, hoe groter het contactoppervlak met de weg, hoe hoger de rolweerstandsscoëfficiënt.
De bandbreedte is bepalend voor de vorm van het contactoppervlak: langwerpig voor een smalle band, ronder voor een brede band.
En een langwerpig contactoppervlak geeft een hogere rolweerstandsscoëfficiënt dan een ronder contactoppervlak. Dat komt omdat bij een langwerpiger contactoppervlak met de weg de band meer vervormt tijdens het rollen.
Gek genoeg geven smalle banden (bij gelijke bandendruk en dus gelijk contactoppervlak) dus een hogere rolweerstand dan brede banden. Een Schwalbe ‘Marathon Supreme’ met een breedte van 37 mm geeft bij gelijke bandendruk (4 bar) bijna 2x zoveel rolweerstand als een Schwalbe ‘Big One’ van 60 mm [BRR].
Wielrenners gebruiken de smalle banden dan ook niet omdat ze minder rolweerstand hebben, maar omdat ze harder opgepompt kunnen worden en je zo een kleiner contactoppervlak krijgt dan met brede banden. Ook draait er bij een smalle band minder massa rond dan bij een brede, waardoor het makkelijker is om te versnellen.
Bovendien geeft een smalle band minder luchtweerstand dan een brede. Het frontale oppervlak van de 60 mm band bedraagt al gauw zo’n 10% van dat van een voorovergebogen fietser, terwijl dat voor de 37 mm band maar 6% is.
Toch bestaat er door toenemend inzicht in het netto effect van rol- en luchtweerstand ook bij professionele wielrenners een trend naar bredere banden.
Voorbeeldje
Bij een bandendruk van zo’n 8 bar is de rolweerstands-coëfficiënt van een band van een racefiets (23 mm) op asfalt zo’n 0,006. Als fiets en fietser bij elkaar 90 kg wegen, dan is de rolweerstand zo’n 90 x 9.8 x 0.006 = 5.3 N (een ‘tegenkracht’ die gelijk is aan de trekkracht van een pond kaas in een boodschappentas).
Referenties
David G. Wilson (2004). Bicycling Science. MIT Press, Cambridge, MA, USA.
[BBR]: https://www.bicyclerollingresistance.com/
Luchtweerstand
Luchtweerstand wordt veroorzaakt door het voortdurend wegduwen van al die luchtmoleculen die in de weg zitten. En dat hangt natuurlijk van je snelheid af.
Als we fietsen, oefent de lucht een kracht op ons lichaam uit . Die luchtweerstand is gelijk is aan de druk die de lucht geeft op ons lichaam × het verticale (frontale) oppervlak (doorsnede A) dat de lucht van ons ervaart als we door die lucht fietsen.
En die druk is volgens Bernoulli proportioneel met de bewegingsenergie van de lucht, die kwadratisch is met de snelheid v van de lucht .
Om beter te begrijpen waarom luchtweerstand proprtioneel is met de beweginsgenergie van de lucht kun je Internezzo 1 bekijken. En waarom bewegingsenergie kwadratisch is met snelheid vind je in Intermezzo 2.
Bij elkaar betekent het dat :
luchtweerstand = ½ × LWC × A × d × v²
De luchtweerstandscoëfficiënt LWC hangt af van de vorm van fiets en lichaam en is voor een racefiets ≈0.9. Het verticale oppervlak dat de lucht van je ervaart hangt af van je houding en is kleiner naarmate je meer voorovergebogen op de fiets zit. Voor een racefietser is dat oppervlak A ≈0.4 vierkante meter. De luchtdichtheid d is ≈1.2 kg per kubieke meter.
Hiermee kunnen we nu de luchtweerstand berekenen, als we de snelheid weten waarmee we ons door de lucht duwen.
Als je 32 km/u over de de dijk fietst (en het waait niet), dan is de luchtweerstand 17 N (gelijk aan de trekkracht van 1.7 kg kaas in je boodschappentas) en dus veel groter dan de rolweerstand.
Verwaarloos de rest maar
Ik verwaarloos maar even de mechanische weerstand die de mechanische delen van je fiets kunnen geven, en ook de extra weerstand die turbulentie achter de fiets met zich meebrengt.
De mechanische weerstand geeft een mechanisch rendement van 96% (2% verlies door je ketting en 2% door je derailleur).
INTERMEZZO 1 : Waarom is luchtweerstand proportioneel met bewegingsenergie?
Om iets meer gevoel te krijgen voor waarom luchtweerstand kwadratisch oploopt met snelheid passen we de stelling van Bernoulli voor vloeistofstroming (uit 1738) toe op de (ideale) luchtstroming om een bal heen. De stromingslijnen van rechts naar links vormen in het midden een ‘luchtbuis' waar de lucht binnen blijft.
De lucht komt van rechts met een snelheid v₂ en druk p₂ door de smalle buis waarvan de doorsnede een oppervlak O₂ heeft. De kracht F₂ (zwarte pijl) op dat oppervlak met druk p₂ is dus p₂ × A₂.
De arbeid die door die kracht wordt verricht is kracht × verplaatsing. Als we naar een verplaatsing in één seconde kijken, dan is die arbeid p₂ × A₂ × v₂. Hierbij is A₂ × v₂ het verplaatste volume (het grijze vakje lucht in de illustratie).
Als de lucht verder stroomt wordt de buis breder (de lucht moet wijken voor de bal). De hoeveelheid lucht die door de buis stroomt blijft hetzelfde (als die niet wordt samengeperst), dus moet het verplaatste volume hetzelfde blijven.
Op het punt van het grotere oppervlak A₁ moet de verplaatsing en dus de snelheid v₁ dus evenredig lager zijn geworden, zodat A₁ × v₁ gelijk aan het volume blijft.
De arbeid die op het oppervlak A₁ wordt verricht is in balans tegengesteld en gelijk aan de druk p₁ op A₁ maal de verplaatsing v₁ per seconde, ofwel –p₁ × volume.
De totale opgetelde arbeid op de twee luchtvakjes is dus (p₂ - p₁) × volume. Deze arbeid is gelijk aan een afname in bewegingsenergie van 1 naar 2.
Als de luchtdichtheid d is, dan is de bewegingsenergie van het eerste vakje ½ × d × volume × v₁² en voor het tweede vakje hoeven we alleen maar v₂ te nemen ipv v₁. Dus geldt (na het volume weg te delen en wat heen en weer te schuiven) dat : p₁ + ½ × d × v₁² = p₂ + ½ × d × v₂².
Omdat dat waar is voor elke twee plekken in de buis, geldt op elke plek de stelling van Bernoulli :
p + ½ × d × v² = constant
Vliegtuigvleugels zijn zo gebouwd dat de lucht sneller bovenlangs stroomt dan onderlangs. Volgens de stelling van Bernoulli is de druk aan de bovenkant lager dan aan de onderkant, en wordt de vleugel omhoog geduwd.
Voor ons is het relevant te bedenken dat de totale verrichte arbeid gelijk is aan ½ × d × volume × (v₂ – v₁)².
En omdat v₂ = v₁ × A₁ / A₂ geldt dus dat arbeid evenredig oploopt met v₁².
De verrichte arbeid is dus evenredig met de luchtsnelheid in het kwadraat.
INTERMEZZO 2 : Waarom is bewegingsenergie kwadratisch met snelheid?
Het leuke hiervan is dat je dit eenvoudig kunt begrijpen door naar een botsing van twee balletjes klei te kijken die naar elkaar toe bewegen, allebei met een snelheid v. Stel dat we de beweginsgenergie van één balletje Ev noemen.
Na botsing vormen de twee balletjes één samengeklonterde bal klei en is de bewegingsenergie van beide balletjes geheel omgezet naar opwarming van de samengeklonterde bal. De botsing van de twee balletjes levert dan een warmte van 2 × Ev op.
Hieruit begrijp je nog niet waarom Ev kwadratisch zou zijn met v, maar wel als je dezelfde situatie ‘vanuit een ander perspectief bekijkt’. We bekijken de bostende balletjes nog eens, maar nu terwijl we met het eerste balletje ‘meereizen’.
Denk aan schaatswedstrijden waarbij de televisiecamera over een rails rijdt en met de schaatser meebeweegt, waardoor de schaatser stil in beeld blijft en de achtergrond langs raast.
Als we met het eerste balletje meereizen lijkt het eerste balletje stil te liggen, maar komt het tweede balletje met dubbele snelheid 2v op je af, met een bewegingsenergie die we E2v noemen.
Na de botsing gaat de samengeklonterde bal weer van je af met een snelheid v, dwz met een bewegingsenergie 2 × Ev. Na de botsing heb je dan dus dezelfde warmte 2 × Ev plus een bewegingsenergie 2 × Ev.
De totale energie voor en na de botsing moet hetzelfde blijven, dus E2v (beweging voor botsing) = 2 × Ev (warmte na botsing) + 2 × Ev (beweging na botsing).
In andere woorden, de bewegingsenergie van een balletje met snelheid 2v is gelijk aan 4× de bewegingsenergie van een balletje met snelheid v. Ofwel, de bewegingsenergie verviervoudigd als de snelheid verdubbeld. Bewegingsenergie is dus kwadratisch met snelheid!
Weerstand en vermogen bij windstilte
Als je met constante snelheid trapt, is de trapkracht die je levert gelijk aan de som van rol- en lucht-weerstand. Om een gevoel te krijgen van hoe sterk die totale weerstand is, nemen we het gewicht van fietser plus fiets 90 kg met een snelheid van 32 km/u over de de dijk fietst.
Om te beginnen is de rolweerstand van de banden met een rolwrijvingscoefficient van 0.006 zo'n 5.3 N, en die is onafhankelijk van de snelheid. De luchtweerstand is bij windstilte 17.5 N, en is met bijna 80% van de totale weerstand van 22.8 N veruit de grootste boosdoener.
Het vermogen dat je dan moeten leveren om de rol- en luchtweerstand te overwinnen en je snelheid te behouden komt pas in 3.1 aan bod, maar is gelijk aan de totale weerstand maal de snelheid, in dit geval zo'n 200 W.
En omdat het lichaamsrendement ruim genomen 25% is, moet je daarvoor minimaal 4 x 200 = 800 W aan vermogen produceren).
Wat als je de wind van voren krijgt?
Stel nu dat je de wind van voren krijgt, met een windkracht van 3 BFT (zo’n 16 km/u). Als je even hard blijft rijden dan wordt de relatieve snelheid ten opzichte van de lucht 31+16=48 km/u, en de luchtweerstand neemt kwadratisch toe tot 39 N. De totale tegenkracht is dan gelijk aan die je voelt als je met 32 km/u een helling op fietst van zo’n 2.5% (dus elke 100m horizontaal 2.5m stijgt, zie 3.4)!
Het equivalent tegen de wind in fietsen voor andere windsnelheden zie je in de grafiek hiernaast.
Elk jaar wordt in Nederland het Nationale Kampioenschap ‘Tegenwind-fietsen’ georganiseerd, waarbij tijd en locatie afhangen van een geschikte herfststorm met een windkracht van 5-7 BFT. Er wordt dan gefietst op standaard herenfietsen zonder versnelling, over een afstand van 8,5 km. Daar doen de snellen zo’n 18 minuten over (dus rijden ze zo’n 28 km/u).
Met een tegenwind van zo’n 44 km/u en een grondsnelheid van 28 km/u, betekent dat een snelheid tov de lucht van 72 km/u! Dan is de tegenkracht 90 N, wat bij dezelfde snelheid gelijk is aan een helling van ruim 9 %!
In 3.3 volgt nog veel meer over fietsen bij wind, onder andere over verschillen in energieverbruik tegen de wind in en met de wind mee!
Wanneer houdt de lucht je in evenwicht met de zwaartekracht bij een afdaling?
Wielrenner Lars Boom [AD, 2015] reed in de Tour de France 2015 tijdens een afdaling van de Côte d'Ereffe met 109 km/u naar beneden. Kévin Réza [CT, 2017] maakte het nog bonter door tijdens de Tour de Suisse 2017 de Simplon pas af te rijden met maar liefst 135 km/u.
Maar deze jongens laten zich niet zonder bij te trappen door de zwaartekracht naar beneden rollen.
Hoe hard ga je uiteindelijk op een afdaling als je niet bij trapt?
Je gaat dan steeds harder tot dat de rolweerstand en de luchtweerstand samen gelijk zijn aan het stukje van de zwaartekracht dat langs de weg gemeten aan je trekt. Dan zijn de krachten in evenwicht, versnel je niet meer, en rij je met een constante snelheid verder.
Stel je daalt af langs een helling van 8%, dwz elke 100 meter horizontaal daal je 8 meter in hoogte. De hoek van de helling is dan 4.6 graden. Normaal trekt de zwaartekracht je met een valversnelling van 9.8 m/s2 alleen recht naar beneden. Maar door de helling trekt de zwaartekracht je nu een klein beetje (valversnelling 0.78 m/s2) langs de helling vooruit, en duwt de zwaartekracht je met een iets kleinere valversnelling van 9.77 m/s2 tegen de weg. Met een totale massa van 90 kg is dat een kracht van 70 N vooruit.
Omdat de kracht loodrecht op de helling niet zo heel veel verandert, blijft de rolweerstand ongeveer 5.3 N.
De luchtweerstand is een constante × de snelheid in het kwadraat. Die coefficient is gemiddeld 0.22, de snelheid weten we nog niet.
Alle krachten zijn in evenwicht als de snelheid zo groot is dat de rolweerstand en de luchtweerstand samen even groot zijn als dat stukje van de zwaartekracht. En dat blijkt in het voorbeeld van een 8% helling een snelheid van 63 km/u te zijn.
De evenwichtssnelheden voor andere hellingspercentages zie je in de grafiek.
Wil je zo hard gaan als Lars Boom zonder bij te trappen, dan moet je een helling van 24% opzoeken. De Muro di Guardiagrele in het oosten van Italië komt in de buurt met een gemiddelde van 22%, maar die is helaas maar 0.6 km lang ...
Referenties
[Algemeen Dagblad, 2015] : https://www.ad.nl/wielrennen/boom-met-109-08-km-per-uur-nog-steeds-snelste-in-tour~a90b8af3/?referrer=https://www.google.com/
[Cycling Today, 2017] : http://cycling.today/tour-de-suisse-rider-hits-135kph-descending-mountain-road/