Wat doet de draaiende aarde met mij en mijn fiets?
Ik droom wel eens dat ik mij met een mentale inspanning aan de zwaartekracht kan ontworstelen, kan zweven boven mensenmassa's of tussen gebouwen, en op zijn kop over een plafond kan lopen. Altijd jammer om dan weer met zwaartekracht wakker te worden.
Maar als ik op de fiets zit realiseer ik mij dat fietsen zonder zwaartekracht helemaal niet zou kunnen. Om vooruit te komen heb je de wrijving met de weg nodig en dus de zwaartekracht om je tegen die weg aan te drukken. De prijs daarvoor is een voortdurende balanceeract om rechtop te blijven.
Voor die zwaartekracht is blijkbaar een enorme massa onder ons nodig, want zelfs een hoge berg naast je trekt je niet opzij.
Het maakt mij nieuwsgierig naar hoe die grote massa, de aarde, is ontstaan, hoe we bedacht hebben dat dat een bol is, of zwaartekracht in die bol hetzelfde is als er boven, en wat de draaiing van de aarde betekent voor alle krachten die op een fietser werken?
Het ontstaan van de aarde
Onze aarde heeft zich zo’n 4.6 miljard geleden gevormd uit een platte rond draaiiende wolk van stof en gas.
In het centrum van die wolk ontstond de zon, met daaromheen ‘klonters’, waarvan één klonter in 100 miljoen jaar tijd tot de planeet aarde uitgroeiden. Naar zeggen deed zich kort daarna nog een ongelukje voor toen er zich een andere planeet Theia met zo’n 50,000 km/uur in de planeet Aarde boorde. Door al die energie smolt de aarde en ontstond uit het stof de maan, die nog steeds om ons heen draait.
De eerste helft tussen het centrum en het oppervlak van de Aarde is de grotendeels ijzeren ‘kern’, waar een temperatuur van 6000°C heerst. Bij die hitte is ijzer normaal vloeibaar, maar vanwege de extreem hoge druk van ruim 1 miljoen bar wordt het binneste ijzer toch hard. Het populaire management gezegde ‘onder druk wordt alles vloeibaar’ klopt dus niet ;-)
Om de kern ligt de 3000 km dikke ‘mantel’, die vooral uit zand bestaat (Silicium). Omdat de mantel koeler is (2000°C), is het buitenste deel van de mantel hard.
Het buitenste laagje van de Aarde heet de ‘korst’, en daar leven we op. De aardkorst is koel en bevat naast SiliciumOxide (zand) ook Aluminiumoxide (aluin) en Calciumoxide (kalk). De aardkorst is slechts 30-50 km dik, en scheidt ons van de hete mantel.
De kromming van de aarde
We weten al een tijdje dat de aarde niet plat is, maar rond. Pythagoras veronderstelde dat al in 570 BC. Maar wiskundige en geograaf Erathosthenes van Cyrene berekende rond 240 BC in Egypte als eerste op geniale wijze de bolomtrek van de aarde [Nicastro, 2015].
Op 21 juni stond de zon pal boven het huidige Aswan, maar in het 788 km noordelijker gelegen Alexandria was de kortste schaduw van een hoge toren die dag 7 graden (≈1/50 van een cirkel). Dus moest de aarde een omtrek hebben van zo’n 50 x 788 =39,425 km. Hij zat met zijn schatting maar 650 km onder de nu bekende werkelijke omtrek!
Omdat de aarde rond is zouden we volgens de eerste wet van Newton (zonder krachten gaat alles rechtdoor) langs een raaklijn van de aarde wegfietsen als de aarde niet aan ons zou trekken.
Referenties
Nicholas Nicastro (2015). Cirumference. Griffin; First edition (March 10, 2015)
Zwaartekracht boven en op het aardoppervlak
Twee millennia na Erathosthenes, in 1687, formuleerde Newton [Newton, 1687] op basis van zijn observaties dat de zwaartekracht F op een voorwerp evenredig is met de massa m van dat voorwerp × de massa M van de aarde, en omgekeerd evenredig met het kwadraat van de afstand r tussen de aarde en het voorwerp.
Dus op een afstand r van de kern van de aarde is de zwaartekracht :
F = G × m × M ∕ r²
waarbij G de gravitatieconstante is.
Op het oppervlak van de aarde is de afstand R tot het centrum van de aarde, en is de zwaartekracht F = G × m × M ∕ R². En die formule kunnen we eenvoudiger maken als we G ×M/ R² schrijven als g, de valversnelling op aarde. De zwaartekracht op aarde wordt dan F = m × g.
Die valversnelling g op aardeis 9.8 m/s2, wat betekent dat als je van een toren valt, dat je snelheid elke seconde 9.8 m/s (≈35 km/u) toeneemt.
Naar mate je verder weg komt van de aarde wordt de kracht steeds kleiner. Stel je bent heel ver weg (oneindig), en je valt langzaam maar zeker terug naar aarde. De zwaartekracht trekt aan je, en verricht arbeid op jou. Die arbeid is voor elk stukje gelijk aan de zwaartekracht aldaar × dat stukje. Per seconde wordt dat stukje steeds groter, want je versnelt, en je energie neemt toe. En de zwaartekracht wordt steeds sterker.
Als je over al die stukjes kracht × stukje bij elkaar optelt krijg je de totale arbeid die is verricht. En die arbeid is omgezet in bewegingsenergie.
Als je op de grond valt is je totale bewegingsenergie: E = m × g × R (je snelheid is dan ruim 40,000 km/u!)
Dat betekent ook dat, als je een voorwerp van een relatief kleine hoogte h op de grond laat vallen, de bewegingsenergie toeneemt met m × g × h. En dat klopt weer mooi met de verricht arbeid, want die is kracht F = m × g maal de afstand h.
Zwaartekracht onder het aardoppervlak
De zwaartekracht in de aarde (onder de grond) verloopt anders dan buiten de aarde. Stel je graaft een tunnel dwars door de aarde van Nederland naar Australië, en je laat je in die tunnel vallen. Dan is de zwaartekracht niet langer omgekeerd evenredig met het kwadraat van de afstand tot de kern.
Dat komt omdat alleen de aardmassa tussen jou en de kern aan je trekt, en de aardmassa tussen jou en het oppervlak niet meer telt (dat toonde Newton al aan). De massa onder je die nog meetelt neemt af met de derde macht van de afstand, en de zwaartekracht daarvan met de tweede macht. Dus neemt de zwaartekracht recht evenredig af met de afstand : F = 0 in de kern van de aarde, F = m × g aan het oppervlak van de aarde. En op de helft is F eenvoudigweg de helft.
Als je in die tunnel valt zou je langzaam versnellen, met een snelheid van 28,511 km/u voorbij het centrum schieten, weer afremmen, en na 42 min in Australië weer exact tot rust komen.
De draaiing van onze aarde zorgt voor meer krachten
Wat veel mensen niet beseffen is dat er naast de zwaartekracht nog meer krachten op je lichaam werken, en dat komt omdat de aarde elke 24 uur om zijn as draait. Het gaat om centrifugaal- en Corioliskrachten.
Centrifugaalkracht
Een eerste effect is dat je door die draaiing de neiging hebt van de aard-as af te bewegen. Laten we dat de centrifugaalkracht noemen, alhoewel het geen echte kracht is. Het is een schijnkracht: de plek onder je voeten beweegt tijdens de draaiing van de aarde van je af (naar beneden) terwijl jij normaal (zonder zwaartekracht) rechtdoor zou gaan. Het lijkt dus alsof je wordt weggeslingerd.
De centrifugaalkracht is proportioneel met je massa, met het kwadraat van de draaisnelheid van de aarde, en met je afstand tot de aard-as.
De centrifugaalkracht is dus het grootst aan de evenaar, en nul op de Noord- en Zuidpool. Als je op de polen (zonder centrifugaalkracht) 100 kg zou wegen, dan zou je op de evenaar door maximale centrifugaalkracht 344 gram lichter zijn!
Referenties
Isaac Newton (1687). Philosophiae Naturalis Principia Mathematica.
Corioliskracht
Om een gevoel te krijgen voor Corisoliskrachten zou je je moeten voorstellen dat je in het centrum van een ronddraaiiend podium staat en een voetbal weg trapt. Vanuit de zaal gezien gaat die bal gewoon rechtdoor.
Maar vanuit jou gezien (je draait ondertussen rond op dat podium) beweegt de bal spiraliserend van je weg, en lijkt er dus een zijwaartse kracht op te werken, dat wordt de Corioliskracht genoemd.
De grootte van die Corioliskracht neemt toe met de draaisnelheid van het podium, en met de snelheid waarmee de bal weg beweegt van het centrum.
Omdat wij op een ronddraaiiende bol wonen ondervinden we ook Coriolis-kracht, en die heeft altijd een richting die zowel haaks staat op je rijrichting én haaks op de draaias van de aarde.
Als je je dat inbeeldt op het kromme aardoppervlak tussen pool en evenaar, dan is er dus een zijwaartse én een verticale Corioliskracht.
Als je op een pool fietst, dan fiets je haaks op de draaias, en ondervind je alleen een zijwaartse Corioliskracht. Die werkt naar rechts op de Noordpool, en naar links op de Zuidpool. In beide gevallen is die zijwaarste kracht 10,000× kleiner dan de zwaartekracht, zelfs bij een relatief hoge snelheid van 36 km/u.
Als je op de evenaar fietst, dan werkt de Corioliskracht in verticale richting. Als je naar het Oosten fietst, dan werkt de Corioliskracht kracht omhoog (en weeg je lichter), als je naar het westen fietst wordt je zwaarder, en naar het Noorden en Zuiden blijft je gewicht gelijk. Hoeveel hangt af van je snelheid.
Op de evenaar weegt een fietser van 100 kg, ~15 gram lichter als die met 36 km/u naar het Oosten fietst (en 15 gram zwaarder richting Westen).
Op een plek tussen de pool en de evenaar, bijvoorbeeld in Nederland, heb je altijd een zijwaartse én een verticale Corioliskracht.
Als je op het Noordelijk halfgrond fietst werkt de zijwaartse kracht altijd naar rechts, op het Zuidelijk halfgrond altijd naar links. De verticale Coriolis hangt weer af van de snelheid waarmee je naar het Oosten of Westen fietst.
Hoe kun je Corioliskrachten aan het werk zien?
Door een slinger aan het plafond te hangen, die heel lang blijft slingeren. Léon Foucault heeft dat in 1851 al eens gedaan. Met een 67m lang draad aan het plafond van het ‘Observatoire de Paris’, en een kogel van 28kg lood aan het einde, die in ruim 16 seconden heen en weer slingerde.
Zonder Coriolis kracht zou die kogel in dezelfde richting blijven slingeren. Maar de Corioliskracht ‘duwt’ de kogel zowel heen als terug lichtjes naar rechts ten opzichte van de bewegingsrichting. En daardoor verandert de slingerrichting met de klok mee, en wel ruim 11 graden per uur.
Deze slinger van Foucault slingerde pas na ongeveer 32 uur weer in de begin richting! Je ziet als het ware de aarde onder de slinger door draaien! Een replica van de slinger van Faucault is te zien in het Panthéon in Parijs.
Een andere manier om Corioliskrachten te zien is naar de weerkaartjes te kijken bij het journaal als er weer een Hurricane wordt gemeld. De spiraliserende Hurricanes ontstaan door de Corioliskracht.
Wanneer lucht stroomt van een hoge druk naar een lage druk gebied, dan beweegt de lucht niet recht op het doel af, maar wordt telkens naar rechts afgebogen. Daardoor lopen zuidelijke en noordelijke stromen elkaar bij ontmoeting net mis en gaan ze spiraliseren [zie 2.6].
Coriolis en centrifugaalkrachten in Nederland
Laten we het eens precies bekijken voor Nederland dat rond de 52ste breedtegraad ligt, en met ruim 1000 km/u om de aardas draait. Als je stil staat voel je alleen de zwaartekracht en de centrifugaalkracht. Maar als je gaat fietsen komt daar de Corioliskracht bij. Stel je weegt op een pool (geen verticale centrifugaal- of corioliskracht) zo’n 100 kg.
De centrifugaalkracht is onafhankelijk van je snelheid. De verticale component van de centrifugaalkracht is Nederland is 0.13% van de zwaartekracht en wijst omhoog. Daardoor weeg je 130 gram lichter dan op de pool.
De horizontale component van de centrifugaalkracht is in Nederland 0.17% van de zwaartekracht en werkt naar het Zuiden.
De zijwaartse Corioliskracht werkt altijd naar rechts, met een grootte die rechtevenredig is met je fietssnelheid. Als je 36 km/u fietst, dan is de zijwaartse Corioliskracht 0.012% van de zwaartekracht, maar toch genoeg om je in een grote cirkel te laten fietsen van zo’n 174 km doorsnee (als er geen andere krachten waren).
De verticale Corioliskracht is 0.009% van de zwaartekracht, en omhoog gericht als je naar het Oosten fietst (je weegt dan 9 gram lichter dan stilstaand), en naar beneden als je naar het Westen fietst (9 gram zwaarder).