Hoe kan de fiets vooruit bewegen als ik mijn onderste pedaal naar achteren trek?

Toen ik op de middelbare school zat in Ede fietste ik elke dag van ons huis op de heuvel over een landweggetje naar de voet van de heuvel waar de school lag. De gemeente liet op een dag bloembakken plaatsen aan weerszijden onder aan het weggetje om autoverkeer te ontmoedigen.

Ik ben niet vergeten hoe een vriendje van mij, zich nog niet bewust van de bloembakken, als eerste beneden wilde zijn. Onverschrokken daalde hij af, bleef onbedoeld met zijn pedaal achter zo’n nieuwe bloembak hangen, en maakte een salto over zijn stuur heen in de richting van de school.

Toen ik onlangs in een oud straatje Vianen tijdens een wilde inhaalactie met mijn pedaal een oude muur schampte dacht ik hier aan terug, en kwam op de vraag wat er gebeurt als je een touw aan de onderste trapper van een stilstaande fiets bindt, en de trapper dan naar achteren trekt.?

Gaat de fiets dan naar voren (de trapper duwt de fiets dan immers naar voren) of naar achteren (je trekt er immers aan)? Een vraag die veel mensen in verwarring brengt, maar oplosbaar is!

Een schematische voorstelling van een fiets, met een touw aan de onderste trapper verbonden. Het achtertandwiel heeft een radius A, het voortandwiel een radius V. Verder is de lengte van de crank P (het stuk tussen de trapas en het pedaal)

Curve van het pedaal

Eerst maar eens kijken wat voor bewegingen onderdelen zoals de wielen, tandwielen en pedalen eigenlijk maken terwijl je fietst. De curve voor een ventiel hebben we al bedacht in 4.1, dat is de beroemde cycloïde curve, een speciale vorm van de familie van trochoïde curves. Maar hoe zit het met de curve die het pedaal maakt?

We beginnen met een fiets met het rechter pedaal naar beneden. Als de wielen (met radius R) over een hoek h draaien (met de klok mee ten opzichte van de verticaal), verplaatst het frame van de fiets zich over een afstand R × h naar rechts langs de x-as.

Het achtertandwiel (met radius A) draait over exact dezelfde hoek h als de wielen. Het voortandwiel (met radius V) is door de ketting verbonden met het achtertandwiel. De ketting schuift door de draaiing over een lengte A × h op.

Het voortandwiel draait daardoor mee, maar over een hoek die bepaald wordt door de verhouding tussen de radius van het voor- en achtertandwiel: h × A ⁄ V.

Een punt op de rand van het voortandwiel draait om de trapas, terwijl de trapas zelf zich een horizontale afstand R × h verplaatst.

Als we deze draaiing en horizontale verplaatsing optellen, dan vinden we dat het laagste punt op de rand van het voortandwiel zich horizontaal met R × h - V × sin⁡ (h × A ⁄ V) verplaatst, en verticaal met R + V × cos ⁡(h × A ⁄ V).

Het pedaal is eigenlijk een punt van het voortandwiel, maar wel eentje die voorbij de rand van het tandwiel ligt, op crank-lengte P van de trapas. Om de curve voor het laagste pedaal te krijgen hoeven we dus alleen maar V te vervangen door P, en dan wordt de curve voor het pedaal:

R × h - P × sin⁡ (h × A ⁄ V) (horizontaal)

en

R + P × cos ⁡(h × A ⁄ V) (verticaal)

Deze curve is een trochoïde, ofwel een ‘samengetrokken’ of ‘uitgerekte’ cycloïde. De vorm van de curve hangt af van de verhoudingen van de wielen en de tandwielen.

Als de hoek h klein is wordt sin ⁡(h × A ⁄ V) ongeveer gelijk aan h × A ⁄ V, en verplaatst het frame zich over een afstand R × h, en het onderste pedaal over een afstand

R × h - P × h × A ⁄ V.

Het pedaal beweegt in dezelfde richting als het frame als R × h - P × h A ⁄ V > 0, ofwel als R ⁄ P > A ⁄ V.

Verschillende (trochoïde) cruves die het pedaal volgt tijdens het fietsen volgt ten opzichte van de weg. Hierbij is uitgegaan de radius van het wiel 2x de lengte van de crank is.De middelste cycloïde curve krijg je dan als het achtertandwiel 2x zo groot is als het voortandwiel (A = 2 × V). Als A < 2 × V dan krijg je de bovenste uitgerekte curve. Als A > 2 × V dan krijg je de onderste samengetrokken curve 'met lusjes'.

Bij een normale fiets is de radius van het wiel ongeveer 35 cm, en de cranklengte de helft daarvan.

Dus beweegt het pedaal in dezelfde richting als het frame als A < 2 × V.

Als A > 2 × V (een extreem lage versnelling, bv om een steile berg op te rijden), dan beweegt het pedaal in tegenover gestelde richting van het frame, en krijg je de samengetrokken vorm van de cycloïde, die dan ‘lusjes’ vertoont.

Touwtrekken met onderste pedaal

Dan blijft de vraag nog in welke richting de fiets beweegt als je aan het pedaal trekt. Daarvoor moeten we naar de krachten kijken die op de fiets werken als je aan het touw trekt.

Bedenk dat het pedaal en het voorblad samen als een hefboom werken, waardoor de kracht waarmee het voortandwiel aan de ketting trekt groter is dan de kracht op het pedaal, om precies te zijn P / V keer zo groot.

De ketting trekt vervolgens aan het achtertandwiel, waardoor het achterwiel zich afzet tegen de grond. De verhouding van de kettingkracht en de afzetkracht is A / R (ook een hefboom).

Door de wrijving van het wiel met de weg duwt de weg de fiets dus met een kracht naar rechts die in total P / V × A / R groter is dan de kracht op het pedaal naar links.



Krachten op de fiets bij het 'touwtrekken' aan het pedaal. De rode pijl naar links is de (trek)kracht van het touw op het pedaal. De rode pijl naar rechts is de (tegen)kracht die de grond uitoefent op het achterwiel.

Dus als A > V ×R ⁄ P, dan wint de wrijvingskracht van de weg naar rechts het van de pedaalkracht naar links en beweegt de fiets naar rechts, dus tegen de pedaalkracht in!

Omdat het pedaal meestal de helft van de radius van het wiel lang is, beweegt de fiets van je af als je aan het pedaal trekt wanneer het achtertandwiel meer dan 2× zo groot is als het voortandwiel.


Zo’n grote achter/voortandwiel verhouding betekent een extreem laag verzet, dat op de meeste normale, race- en bergfietsen niet voor komt.

In conclusie

Bij alle tandwielverhoudingen op een normale fiets zal de fiets naar je toe bewegen als je met een touw aan het onderste pedaal de fiets naar achteren trekt!

Alleen bij een extreem laag verzet zal de fiets van je af bewegen (maar het pedaal naar je toe).

Probeer het eens in de garage!


Referenties


http://simonsfoundation.s3.amazonaws.com/jwplayer/BikePull/bike-pull-4.mp4
D. E. Daykin (1972). The Bicycle Problem. Mathematics Magazine 45 (1).