Curve van het pedaal

Eerst maar eens kijken wat voor bewegingen onderdelen zoals de wielen, tandwielen en pedalen eigenlijk maken terwijl je fietst. De curve voor een ventiel hebben we al bedacht in 4.1, dat is de beroemde cycloïde curve, een speciale vorm van de familie van trochoïde curves. Maar hoe zit het met de curve die het pedaal maakt?

We beginnen met een fiets met het rechter pedaal naar beneden. Als de wielen (met radius R) over een hoek h draaien (met de klok mee ten opzichte van de verticaal), verplaatst het frame van de fiets zich over een afstand R × h naar rechts langs de x-as.

Het achtertandwiel (met radius A) draait over exact dezelfde hoek h als de wielen. Het voortandwiel (met radius V) is door de ketting verbonden met het achtertandwiel. De ketting schuift door de draaiing over een lengte A × h op.

Het voortandwiel draait daardoor mee, maar over een hoek die bepaald wordt door de verhouding tussen de radius van het voor- en achtertandwiel: h × A ⁄ V.

Een punt op de rand van het voortandwiel draait om de trapas, terwijl de trapas zelf zich een horizontale afstand R × h verplaatst.

Als we deze draaiing en horizontale verplaatsing optellen, dan vinden we dat het laagste punt op de rand van het voortandwiel zich horizontaal met R × h - V × sin⁡ (h × A ⁄ V) verplaatst, en verticaal met R + V × cos ⁡(h × A ⁄ V).

Het pedaal is eigenlijk een punt van het voortandwiel, maar wel eentje die voorbij de rand van het tandwiel ligt, op crank-lengte P van de trapas. Om de curve voor het laagste pedaal te krijgen hoeven we dus alleen maar V te vervangen door P, en dan wordt de curve voor het pedaal:

R × h - P × sin⁡ (h × A ⁄ V) (horizontaal)

en

R + P × cos ⁡(h × A ⁄ V) (verticaal)

Deze curve is een trochoïde, ofwel een ‘samengetrokken’ of ‘uitgerekte’ cycloïde. De vorm van de curve hangt af van de verhoudingen van de wielen en de tandwielen.

Als de hoek h klein is wordt sin ⁡(h × A ⁄ V) ongeveer gelijk aan h × A ⁄ V, en verplaatst het frame zich over een afstand R × h, en het onderste pedaal over een afstand

R × h - P × h × A ⁄ V.

Het pedaal beweegt in dezelfde richting als het frame als R × h - P × h A ⁄ V > 0, ofwel als R ⁄ P > A ⁄ V.

Touwtrekken met onderste pedaal

Dan blijft de vraag nog in welke richting de fiets beweegt als je aan het pedaal trekt. Daarvoor moeten we naar de krachten kijken die op de fiets werken als je aan het touw trekt.

Bedenk dat het pedaal en het voorblad samen als een hefboom werken, waardoor de kracht waarmee het voortandwiel aan de ketting trekt groter is dan de kracht op het pedaal, om precies te zijn P / V keer zo groot.

De ketting trekt vervolgens aan het achtertandwiel, waardoor het achterwiel zich afzet tegen de grond. De verhouding van de kettingkracht en de afzetkracht is A / R (ook een hefboom).

Door de wrijving van het wiel met de weg duwt de weg de fiets dus met een kracht naar rechts die in total P / V × A / R groter is dan de kracht op het pedaal naar links.